[數學] 極限的概念

最近因為工作需要, 因此想開始看MIT OCW的微分方程單元, 常微分方程其實有一堆公式解, 憑著薄弱的印象還記的一些....., 不過才看沒幾個小節, 就覺得自己的觀念還是不夠扎實, 因此還是回來複習微積分, 一開始我先來看台大朱樺老師的, 先來整理極限概念

先從MIT OCW 的一個小概念開始, 自然數的指數函數, 大家都知道可以寫成$ f(x) = e^{x}$, 其中有兩個性質值得玩味:
1. $  \forall x \in R, f(x)>0 $
2. $ \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}} f(x) = 0$

這邊引進了兩個概念, 第一個是極限的概念, 第二個是無限的概念, 到這邊如果觀念不清楚的話, 會一直想不懂為什麼第一個式子一定大於零, 第二個式子可以等於零

在這邊引用台大朱樺老師的講義, 裡面提到極限的直觀定義(白話來講: 就是比較沒那麼數學的定義), 就是我們可以把$ \displaystyle{\lim_{x \to a}} f(x) = L$, 理解成函數f(x)在a點附近有定義(但是在a點這個點不一定要有定義), 當我們很接近a點時, 函數f(x)的值會很接近L.

上述的定義可以看出一件事, 極限符號的等於其實不是真正等於, 而是很接近的意思

當然上面的講法還是不夠數學, 來看比較數學的定義, 一樣是引用台大朱樺老師的講義,

if f(x) is defined at some open interval including a,  $ \forall \epsilon>0, \exists  \delta >0,  if \;0< |x-a| < \delta, then \;|f(x)-L|<\epsilon$, then we can say $ \displaystyle{\lim_{x \to a}} f(x) = L$


上面的數學式子看起來很複雜, 其實白話翻譯跟前一個定義說的差不多, 可以理解成當我們想要找到一個很接近L的值的時候, 一定可以在函數上找到對應點來對應

數學這種東西, 不練習是學不會的, 以下來個簡單的小例題

例題練習:

prove $  \displaystyle{\lim_{x \to 3}} x^{2} = 9$

這個證明大部份人看到都不會太適應, 因為這是進入嚴謹數學的第一步, 首先我們來想看看要如何證明這個題目, 從定義出發, 對於每一個$\epsilon$, 我們至少要找到一個$\delta$, 來滿足條件, 反過來說, 如果我們從$\delta$出發, 可以對應到所有的$\epsilon$的話, 那就證明出來了, 證明方法如下:

$|x^{2}-9|=|x-3||x+3|$
我們取$\delta=1$, 則$|x-3|<1,  2<x<4,  4<|x+2|<6$
所以 $|x-3||x+3|< 6|x-3|$, if $\delta \leq 1$, 注意這裡是小於等於, 因為小於也會成立, 所以我們要怎麼選$\delta$, 才能保證涵蓋所有$\epsilon$呢? 其實不難, 不過第一個想到的人真的很厲害....

取法是$\delta = min(1, \dfrac{\epsilon}{6})$
我們可以分成兩個情況看,
第一個情況
$\min = 1$, 則$|x-3||x+3|< 6|x-3|$, 這是上面推導出來的
第二個情況
$\min = \dfrac{\epsilon}{6}<1$, 則$|x-3||x+3|< 6|x-3|$, 和上面的式子一樣

所以不論是哪一種情況, $|x-3||x+3|< 6|x-3| < 6\delta \leq 6* \dfrac{\epsilon}{6}=\epsilon$
QED.

回到一開始的例子, $ \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}} f(x) = 0$, 表示當x足夠大,接近無限大的時候, f(x)會很接近0, 不過上面這段話用前面的定義是沒辦法推出來的, 極限在無限大或無線小時, 定義方式會稍有不同, 其實也就是把x的範圍改成大於或小於某個數,其他差不多

從一開始的定義裡面也可以看出來, 極限值只能有一個, 如果從左邊逼近跟從右邊逼近的值會不一樣的話, 則稱為極限值不存在

這樣講有點抽象, 舉例來幫助理解, $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$, 求$ \displaystyle{\lim_{x \to 0}} f(x) = ?$, 簡單可以看出左極限和右極限的值不一樣, 一邊是1, 一邊是-1, 又依照原始定義, 區間內的點的對應值都會落在極限值附近, 所以極限值不存在(這是比較白話的講法, 比較數學的版本以後有機會再來補!)


reference:
1. 微分方程課程網址: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-2011/
2. 台大開放式課程, 朱樺老師講義(網址點此)
3. http://sites.science.oregonstate.edu/math/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/lHopital/define_limit.html
4. calculus, a complete course 7th edition
5. stewart's calculus, early transcendental, 6th edition