[radiobiology] target theory

在輻射生物學裡面, target theory 是除了LQ model 外, 另外一個解釋細胞在經過輻射照射後存活情形的模型. 這個模型在輻射生物學的兩本教科書都有提到, 以下就來做個整理!

首先是target theory 主要是基於 Poisson statistics, 這裡簡單介紹一下

$P(n) = e^{-x}*x^{n}/n!$

其代表意義為發生機率的函數, e 為自然對數, x 為平均發生次數, n為發生特定次數的機率

single target single hit inactivation

假設每個細胞平均被打中一次, 請問有多少比例的細胞沒被打中, 其計算為

$P(0) = e^{-1}*1^{0}/0! = e^{-1} = 0.37$

所以可以把細胞變成原來數量的37% 的劑量就被稱為 $D_{0}$

$P(survival) = p(0 ~hits) = e^{-D/D_{0}}$

這邊的推導其實很直觀, 就是可以想像$D_{0}$ 劑量代表平均打中一次,  $D/D_{0}$ 就代表在D 劑量的時候平均打中幾次, 套進poisson statistics 的時候即為上面的公式!

multi-target single hit inactivation 

在哺乳類生物裡面, 會稍微複雜一些, 其模型要用multi-target single hit inactivation 來解釋, 其推導如下, 

特定一個target 沒被擊中的機率:

 $P(survival) = P(0 ~hits) = e^{-D/D_{0}}$

特定一個target被擊中的機率:

 $P(specific ~target~ was~ hit) = 1- e^{-D/D_{0}}$

全部target 都被擊中的機率

 $P(all ~target ~was ~hit) = (1- e^{-D/D_{0}})^{n}$

因為只要有一個target 沒被擊中即可存活, 所以存活機率為

 $P(survival) = 1- (1- e^{-D/D_{0}})^{n}$

這樣的存活曲線在作圖的時候, 會用log scale 作圖, 一開始會有個平緩的區域, 被稱作shoulder, 其大小可以用一個值$D_{q}$ 去做定義, 跟 $D_{0}$ 會有以下的關係式

$D_{q} = D_{0}*ln(n)$ 

其推導如下:

當 $D \to \infty$, $p(survival) = n*e^{-D/D_{0}}$

用這條線去回推到與 x 軸的交點, 其截距就定義為$D_{q}$, 此時存活機率為1

所以 $1 = n*e^{-D_{q}/D_{0}}$, 

故$D_{q} = D_{0}*ln(n)$ 

跟LQ model的比較

其實LQ model 廣義來看, 其實也是target 的概念, 不過裡面有兩種情形, 一種是一次打斷雙股, 另一種是一次打斷單股, 要打中兩次才算, 不過輻射生物的課本是把兩種情形分開看待!

下面來做個簡單的例題, 題目取自110-1 放射治療技術學

解: 題目敘述提到一次照射曲線跟兩次照射曲線, 水平間距為3.5Gy => 即為shoulder, 這樣就可以代公式求解

$3.5 = 1.35*ln(n)$ 

=> $ n = 13.4$

References:
1. https://ocw.mit.edu/courses/22-55j-principles-of-radiation-interactions-fall-2004/b199767b521a702ca615d6631fa9b215_cel_surv_curves.pdf

2. Radiobiology for the radiologists
3. Basic clinical radiobiology